A százalék számítás hogyanjával sokan tisztában vannak. Ez a cikk nem a hogyanról szól! Mielőtt belevágnál az elolvasásba, feltételezem, hogy a százalékszámítás alapjaival tisztában vagy. Próbálok egyszerű és érthető lenni, hozok példákat. Próbáltam megtalálni az egyensúlyt, hogy ne legyen túl hosszú, de minél többek számára érthető legyen. Amennyiben a példák követésénél problémát érzel, egyrészt kérdezz bátran, másrészt javaslom a http://www.szazalekszamitas.hu/ oldalt, amit véletlenül fedeztem fel, miközben ezt a bejegyzést írtam.
Megdöbbentően sokszor futok bele abba, hogy egyébként tanult emberek is mennyire gyakran képtelenek helyén kezelni a százalékos adatokat. A százalékos adatok nagyon fontosak. Gyakran használjuk őket, szinte mindenki tud velük számolni, jelentőségüket vagy inkább "valódi jelentőségüket" a többség viszont mint ha mégsem értené.
Alapok - az alap fontossága
A százalékban kifejezett érték egy ARÁNY! Két érték egymáshoz viszonyított arányáról mond valamit, és CSAK ARRÓL! A 2 és a 3 szám között az emberek kis különbséget éreznek, ami néha igaz, néha nem; azonban ha egymáshoz viszonyítva nézzük, akkor bizony a három 50%-kal több, mint a kettő. Minden attól függ, hogy mihez képest nézzük. Vajon mennyire mindegy, hogy valaki 200 ezret visz haza havonta, vagy 300 ezret? Most is olyan kicsi a különbség? De nézzük, hogyan számoljuk.
3 "szereplőnk" van, ezeket úgy hívják, hogy alap, százalékláb és százalékérték. Nem kell a nevektől megijedni.
- Százalékláb Ez az, amit látni szoktunk, az "arány". Pl: 20%
- Alap Erre az értékre vonatkozik a százalékláb. Bár nem szokták feltüntetni a százalékláb mellett, ha látunk bárhol százalékos jelölést, vészcsengőként azonnal szólaljon meg az agyunkban a kérdés: Mi az alap? Egyáltalán nem mindegy, de erre visszatérek később.
- Százalékérték Ez az a szám, amit az alaphoz hasonlítunk.
A képlet rettentően és már szinte rémisztően egyszerű (szándékosan hagytam le a x100-at, mert most nem az a lényeg):
Szeretném ismételni, hogy önmagában a százalék - százalékláb - csak egy arányt fejez ki, de az alap ismerete nélkül az ég világon nem mond semmit.
Laci bére 50%-a István keresetének. Ez azt jelenti, hogy Laci rosszul keres? Ez attól függ, hogy István mennyit keres. Ha István a minimálbért kapja, akkor igencsak fel fog kopni az álla, de ha István 8-10 milliót keres havonta, mert egy nagy és sikeres cége van, akkor nem biztos, hogy nagyon aggódnunk kellene Laci életkörülményeiért.
A kicsi, amikor az nem is olyan kicsi 1. - tulajdonrész aprózódás
Az emberek gyakran gondolkoznak lineárisan, olyan dolgokban is, amik egyáltalán nem azok. A 10-es szám elég kicsi, az 5-ös szám még kisebb, az 1-2-ről már nem is beszélve. Tegyük fel, hogy egy cégben van 20% tulajdonrészed. Jön egy új befektető, és azt mondja, hogy szeretné a befektetésért cserébe tőled a cég tulajdonrészének 2%-át. Erre az esetek többségében sokan azt gondolnák, hogy ez semmiség, 2%-al csökken a tulajdonrészem, mi az? Az van ilyenkor, hogy csúnyán elnézted az alapot! A cég teljes méretéhez képest valóban apróságnak tűnik a 2%, azonban ez a tulajdonrészednek a 10%-a! Hogy jobban szemléltessem, mennyire nem kicsi ez a 10%, ez kb majdnem olyan, mint ha mostantól minden évben lemondanál több, mint 1 havi fizetésedről! Ez persze nem jelenti azt, hogy nem érné meg a megállapodás neked is, csupán azt szerettem volna szemléltetni, hogy egy kis százalékos érték bizony nagyon sokat is jelenthet.
A kicsi, amikor az nem is olyan kicsi 2. - országok gazdasági teljesítményének növekedése
Fontos mérőszáma szokott lenni egy ország szempontjából, hogy az előző évhez képest milyen arányban bővült a gazdasági teljesítménye. Mi az alap tehát? Az adott ország, saját, előző évi teljesítménye! Ebből következik, hogy amikor két ország növekedését hasonlítják össze, azok eltérő alapokra vonatkoznak. Így önmagukban ezt tilos megtennünk, és soha nem szabad ebből semmilyen következtetést levonni. Vegyünk rögtön egy példát. István 300 000 Ft-ot keres, és nő a bére 30 000 Ft-tal. István az előző évhez képest 10%-kal többet keres, ez egészen szép növekedés. Jürgen ugyanazt csinálja, csak Németországban dolgozik, és az ő bére átszámolva 1 200 000 Ft. Jürgen bére a következő évben 50 000 Ft-tal nő. Egyértelmű, hogy Jürgen többet keres és többet is nőtt a bére. De nézzük csak, mi történik, ha az egyéni változásukat próbáljuk meg összehasonlítani egymással?
Hoppá! Azt láthatjuk, hogy István milyen király! Önmagában a növekedés mértékét nézve mondhatnánk, hogy István az atyaúristen, több, mint kétszeres növekedést tudott produkálni, ez azért nem kevés! Jürgennek meg mindjárt befellegzik, és István nevetve el fog húzni mellette, csak kellően sok ideig kell várni (sátáni kacaj) ... Pontosan tudjuk, hogy így István sosem fogja utolérni Jürgent, aki nem csak többet keres, de még a bére is messze többel nőtt, mint Istváné.
Pontosan ezért butaság, amikor bárki Németország 1-2%-os növekedését akarja összehasonlítani mondjuk a magyar vagy orosz, esetleg kínai növekedési adatokkal. Nagyon fontos megértenünk, hogy a százaléklábak mellé mindig figyelembe kell venni az alapot. És az almát ne hasonlítsuk össze a görögdinnyével.
Ez jelentheti azt, hogy az ilyen adatok feleslegesek, esetleg hibásak? Egyáltalán nem! Ezek nagyon fontos mérőszámok, de csak azért, mert van két számunk, azok bár matematikailag összevethetők, a valóságban nem biztos, hogy van közük egymáshoz. A matematika sok mindent elbír.
A kicsi, amikor az nem is olyan kicsi 3. - kamatos kamat
Több népmesében visszaköszön a kamatos kamat, amiben az okos juhász/paraszt/szegény legény túl jár a gazdag király eszén. Az egyik ilyenben azt mondja a királynak, hogy ő nem kér mást, csak annyit, hogy egy sakktábla jobb alsó sarkába tegyenek egy szem rizst, a következőbe kétszer annyit, és így tovább, egészen a legutolsó mezőig. Első hallásra ez nem tűnik nagy kérésnek, azonban a valóságban ehhez a mutatványhoz több, mint 371 évnyi globális rizskészletre lenne szükség!
Számítás menete nagy vonalakban:
- Az n. mezőre 2n-1 db rizs fog kerülni. Az elsőre 1, a másodikra 2, a harmadikra 4 ...
- Összesen tehát a táblára 2n-1 db rizst kell letenni.
- A sakktáblán 64 mező van, így összesen 264-1 = 18 446 744 073 709 551 615 rizsszemre van szükség
- Egy rizsszem tömege ~0,015-0,045 g között van. A saktáblára így összesen legkevesebb 276 701 161 105 643 274,225 g rizst kell helyezni, ha 0,015 g-mal számolunk.
- A fenti tonnába átszámolva: 276 701 161 105 t
- A világ teljes rizstermelése 2013-ban 745,7 millió tonna volt a faostat adatai szerint.
- A 2013-as év adatai alapján, 371 évnyi rizstermelés lenne elég.
Ez egy nagyon fontos és tanulságos mese. A mese arról szól, hogy az induló alap lehet bármilyen kicsi, sok pici lépéssel is hatalmasra tud duzzadni. Bejön a képbe egy új, negyedik "szereplő", az ismétlés szám, ami az esetek nagy részében az idő, de nem mindig az!
Mielőtt tovább mennénk, nézzük meg, hogyan számoljuk a kamatos kamatot:
Egy nagyon fontos dolgot vegyünk észre! Az ismétlésszám a kitevőbe kerül! Ez sokaknak biztosan nem egyértelmű, hogy miért fontos, ezért kifejtem. Az alap százaléklábban bekövetkező kis változás is drámaian meg tud nőni, és ez nem lineáris! Mutatom:
Felső sor Hány évig kamatozik kamatos kamattal a pénz.
Első oszlop Mekkora az éves kamat.
| 5 év | 10 év | 15 év | 20 év | |
| 1 % | 5,10% | 10,46% | 16,10% | 22,02% |
| 2 % | 10,41% | 21,90% | 34,59% | 48,59% |
| 3 % | 15,93% | 34,39% | 55,80% | 80,61% |
| 4 % | 21,67% | 48,02% | 80,09% | 119,11% |
| 5 % | 27,63% | 62,89% | 107,89% | 165,33% |
| 6 % | 33,82% | 79,08% | 139,66% | 220,71% |
| 7 % | 40,26% | 96,72% | 175,90% | 286,97% |
| 8 % | 46,93% | 115,89% | 217,22% | 366,10% |
| 9 % | 53,86% | 136,74% | 264,25% | 460,44% |
| 10 % | 61,05% | 159,37% | 317,72% | 572,75% |
Ismét abba a problémába futunk bele, hogy az emberek lineárisan gondolkoznak olyan helyzetekben is, amikor a helyzet egyáltalán nem lineáris. Figyeljük csak meg a táblázatban! Az 1%-hoz képest 2% esetén dupla annyi lesz a haszon - vagy éppen a veszteség, attól függően, hogy hitelfelvevők, vagy befektetők vagyunk! Pedig egyáltalán nem tűnik olyan soknak az az 1% különbség, mégis drasztikus. 1%! És nézzük meg, hogy mekkora óriási különbség van a 9% és 10% között! Több, mint "110%"! Ha befektetek 1 millió Ft-ot, az egyik esetben kerestem 4,6 milliót, a másik esetben viszont 5,72-t! 1 millió esetén 1,12 millió különbség jött ki. Ezt a két számot összehasonlítva, az a +1% a végére (5,72/4,6-1)x100 = 24,35%-nyi különbséget jelent. Ez rengeteg.
Ez mindig legyen a szemünk előtt, amikor hitelt szeretnénk felvenni, vagy amikor arról olvasunk, hogy az állam honnan és mennyiért is finanszírozza a kölcsöneit. Egyáltalán nem mindegy, ha a piacon van egy 0,5%-kal olcsóbb ajánlat, hogy honnan lesz felvéve ez az összeg.
